Задачата е: докажете чрез дефиниция на Коши, че същестува границата на

(x+1)
------
x(x-2)

при х клонящо към 1.

Какво правя аз: Намирам си мислено границата -2.
Допускам, че израза има граница -2 и разписвам деф. на Коши.

Т.е. за всяко епсилон от |x-1|<делта (*), трябва да следва |f(x) +2 | < Епсилон.


Тъй като по дефиниция трябва да намеря за произволно епсилон едно делта, казвам нека ...

делта = Епсилон върху |(2x-1)/x(x-2)|

Тогава като заместя в *, получавам точно |f(x)+2| < Епсилон => т.е. за произволно епсилон намерих исканото делта. С това мога ли да кажа, че и задачата е решена?

Това е нагласено до няма и къде, не съм сигурен дали е "легално", тъй като пиша делта зависещо то х, а не знам дали имам право, макар във fmi.wikidot.com да пише, че евентуално делта може и да зависи от x.

Определено не може така. За делта трябва да получиш, че е константа*епсилон, а като имаш х ти е с променлива все едно. В тея задачки обикновено се взима(тук опитът ми от 10 решени такива задачи ми говори ), че х е в някаква околност на х_0 (примерно единична,1/2, 2 и тн), така че да изкараш израза в * по-малък от някакво число. Но да видим дали ще нацеля правилната околност и ще пиша Дай боже и някой друг да се обади де

Добре де, не трябва ли да се разгледат 2 случая- когато х клони към 1-0 и към 1+0. Тогава се вижда че границите са равни, т.е. съществува границата на х клони към 1.

Значи зимаш х да е в 1/2 околност на -1, т.е |x-1|<1/2 x e (1/2;3/2) togava имаш |(x-1)(2x-1)/x(x-2)| < (1/2*(|2x|+1)/(|x||x-2| < (1/2*4)/(1/2*1/2) = 8 тогава имаш делта = min{1/8епсион;1/2} остава да се върнеш обратно и при тези ст-ти на делта да докажеш, че нещата са верни. Май е така