sqrt(a^2+b^2)=a+b...бях брутално напсуван от родителите ми

аах да...тя водеше на Cisco курсовете...верно че всички и казват Ники

Ще напиша решения на някои задачи, които смятам за по-интересни
5) Ясно е, че т.М лежи на страната СД. Тогава кръщаваме МД=х. Тогава МС=а-х.
АМ^2 = b^2 + x^2
BM^2 = b^2 + (a-x)^2

Tогава пишем f(x)=АМ + ВМ и смятаме производната. Излиза, че има минимум в при х=а/2. Обаче търсим максимум и тъй като х е от интервала [0,а] то максимума е или при х=0 или при х=а(което е едно и също
Тогава смятаме АС + ВС. То обаче не е а+b, а е равно на b+sqrt(a^2 + b^2), не знам как сте го смятали за да получите първото

6) Нека т.К е такава точка от отсечката АМ, че АN=KN(К е между N и М).
Тогава трябва да докажем, че КМ=ВМ. <МАС=х(няма алфа на клавиатурата , <АКС=х,
<МКС=<МВС=180 - х.
<КМС=<ВМС=45
Тогава КМС е еднакъв на ВМС

В седма няма никаква идея, проста сметка. Осма е стереометрия и не ми се описва.
Девета задача ме радва, защото е елементарна, но няма да са я решили много хора. Ако в училище се решават задачи като нея т.е. задачи с по-разчупени и интересни условия, леко нестандартни, един ученик няма да се стряска като види някое елементарно тригонометрично уравнение(като 3-та ) Просто ще е видял, че има и по-трудни неща. Защото съм абсолюно сигурен, че повечето кандидатстуденти си мислят, че най-трудната задача на света е 10-та задача на изпита в софийски.

10) Нека тази окръжност пресича АВ за втори път в т.Т и АС за втори път в т.S
Първото съображение е, че е изпълнено едно от двете:
1)S е между С и Р и Q e между Т и В
2)P е между S и С и Т е между Q и В
като си начертаете чертежа ще ме разберете какво имам предвид.
Действително нека допуснем противното - примерно S е между С и Р и Т е между Q и В.
Първо допускаме, че исканата окръжност не се допира до АС и ВС.
Имаме:
СМ^2 = СS*СР, но СS<CP => CP>CM
BM^2 = BT*BQ , но BT<BQ => BQ>BM
тогава CP + BQ > BC, противоречие
Нека смятаме, че е изпълнено 1)
Нека т.О е центъра на окръжността. Тогава <QOP = 180 - x ако <ВАС=х. Тогава т.О лежи на окръжността, описана около АPQ.
Но OP=OQ=радиуса на окръжността => АО е ъглополовяща на <PAQ.
Пускаме перпендикуляри от О към АВ и АС (точки М и N съответно). Тогава АОM и AON са еднакви => ОМ=ОN и следва, че PS=TQ.
АP*AS=AT*AQ => AP=TQ
Полагаме АP=AT=m, PS=TQ=t
Тогава АP + AQ = (a+b+c) - a - (PC + BQ) = 2*(p-a), където p е полупериметъра на ABC.
Тогава AM= m+t/2 = (AP + AQ)/2 = p-a и тъй като т.О лежи на ъглополовящата на <А то т.О съвпада с центтра на вписаната окръжност. И тъй като тази окръжност се допира до ВС то тя съвпада с вписаната окръжност. Това ще рече, че т.P съвпата с т.S т.е. MC и CP са допирателни,равни, => СМ=2

Малко дългичко стана, който иска да чете. Изпита мисля, че беше по-труден от миналите, май ще има доста ниски резултати. Много искам да видя резултатите върху десета задача